Matemáticos

Euclides

Los Elementos, que ha sido siglo tras siglo como la biblia de las matemáticas, usándose incluso como libro de enseñanza; por su difusión (unas 2000 ediciones) podría rivalizar con obras cumbre de la literatura universal, como la Biblia, la Divina Comedia, el Quijote, etc.; el hecho de que contenga un estilo a veces poco coherente ha llevado a creer a algunos que Euclides era en realidad un grupo de matemáticos.

Los Elementos es un tratado de 13 libros que suelen asociarse generalmente a la geometría, pero en realidad engloba 465 proposiciones, o teoremas, sobre geometría plana, sólidos y teoría de números.

Postulados de las paralelas:

Si una recta corta a otras dos y forma dos ángulos internos que suman menos que dos ángulos rectos, en caso de prolongar éstas indefinidamente se cortarán del lado en que la suma de los ángulos internos es menor que dos rectos.

Otros enunciados equivalentes al anterior.

1. Dadas dos rectas paralelas, si una recta corta a una de ellas, corta también a la otra (axioma de Proclo).
2. Dos rectas paralelas son siempre equidistantes.
3. Por un punto exterior a una recta dada sólo pasa una paralela a dicha recta(axioma de Playfair).
4. La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º.

Existe una infinidad de números primos.
Para demostrar el teorema, Euclides utilizó algunas proposiciones que ya había demostrado anteriormente, tales como
Cualquier número compuesto tiene por lo menos un divisor primo	Si un número es divisor de otros dos, también lo es de la diferencia de ambos.
A partir de ahí, se preguntó qué ocurriría si hubiese sólo unos cuantos números primos; por ejemplo, si hubiese sólo 3 números primos a, b, c. Él pensó: Si eso ocurriese, entonces con el número N=a·b·c+1 podría pasar sólo una de estas dos cosas: Que N fuese a su vez un número primo. Esto es imposible, ya que entonces no habría sólo tres primos, sino al menos cuatro. Que N no fuese primo, sino compuesto. Entonces N tendría algún divisor primo, d. No es posible, pensó, que el d sea igual al a, ya que entonces, de la igualdad N-a·b·c = 1 resultaría que el a es divisor del 1, cosa imposible pues el 1 no tiene divisores. Análogamente, d no puede ser ni b, ni c, luego d es un primo distinto de a, b y c. Ya no habría sólo 3 primos, sino como mínimo cuatro. En definitiva, ¿qué ocurre? ¿Estamos en un callejón sin salida? En absoluto; lo único que ocurre es que es imposible que haya sólo 3 números primos,pues si suponemos que hay sólo tres, siempre podemos encontrar uno más. A idéntica conclusión se habría llegado de haber supuesto que sólo hay cuatro, o cinco, o cualquier número finito de primos: Por muchos que cojamos, siempre llegaremos a la conclusión de que hay alguno más, es decir, sólo vale la afirmación de que hay infinitos primos.  Acertijos: La demostración anterior es completamente ilustrativa del llamado método de razonamiento indirecto, o de reducción al absurdo: consiste en suponer cierto el contrario de un enunciado y llegar a un imposible razonando por las vías de la lógica; entonces, sólo cabrá la posibilidad de que dicho contrario no sea cierto y, por tanto, el enunciado sea verdadero. Te proponemos que resuelvas por ese método el siguiente acertijo: Tres muchachas, Nuria, Sara y Raquel, tienen los ojos vendados y un diminuto sombrero en la cabeza, el cual puede ser rojo o negro. Ninguna ve su propio sombrero. Se les dice que, al quitarles las vendas, levanten una mano si ven al menos un sombrero rojo, y las dos, quien llegue a la conclusión de que su sombrero es rojo. Supongamos ahora que en realidad les hemos puesto los tres sombreros rojos. ¿Cómo puede una, por ejemplo, Nuria, razonar que su sombrero es rojo?.